ตัวอย่างที่2.6-2 สมการเอกพันธ์เชิงเส้น Homogeneous Linear Equation xdx+(y-2x)dy =0

จงหาคำตอบของสมการเอกพันธ์เชิงเส้น xdx+(y-2x)dy=0  
วิธีทำ

ย้ายข้าง

จัดรูปให้อยู่ใน

จัดรูปสมการเป็นสมการที่1

.

ให้เช็คก่อนว่าเป็นสมการเอกพันธ์เชิงเส้นหรือไม่ โดยที่ f(x,y)=f(kx,ky)

มีตัวแปรตรงให้ใส่kที่นั้น

ดึงkออกจากสมการ

kตัดกัน

เป็นสมการเอกพันธ์

กำหนดตัวแปร

ดิฟy โดยใช้สูตรผลคูณ (หน้าดิฟหลังบวกหลังดิฟหน้า)

นำสมการที่ได้ไปแทนในสมการที่1

xตัดกัน

ย้ายข้างvไป

จัดรูป

นำvคูณเข้าไปในวงเล็บ

จัดรูป

จากการแยกตัวประกอบ

จัดรูปใหม่

ขั้นตอนนี้ทำเหมือนสมการแยกตัวแปรได้ โดยย้ายข้างจัดรูปให้dxอยู่กับx ให้dv อยู่กับv สมการที่2

ทำการแยกเศษส่วนย่อย สมการที่3

นำ(v-1)^2คูณทั้งสมการ

จัดรูป

เทียบสัมประสิทธิ์ v

เทียบสัมประสิทธิ์ ค่าคงที่

แทนค่าA

แทนค่าA,Bในสมการที่3

แทน ในสมการที่2

อินติเกรตทั้ง2ข้าง

กระจายอินติเกรตเข้า

สูตรที่ใช้

ใช้สูตร

กำหนดให้U

ดิฟU

dvคูณทั้งสมการ

แทนค่า

สูตรที่ใช้

อินติเกรตต่อ

จัดรูป

คืนค่าU

คืนค่าv

จัดรูปใหม่

จากโดย กฎของลอการิทึม 

ใช้กฎ

lnxลบกับ

นำy-xคูณทั้งสมการ

ตอบ

วีดีโอ

ตัวอย่างที่3.8Exact Equation (สมการแม่นตรง) ((x^3)+(y^3))dx+(3x(y^2))dy=0

จงหาคำตอบของสมการแม่นตรง ((x^3)+(y^3))dx+(3x(y^2))dy=0

วิธีทำ

จัดรูปให้อยู่ใน

จะได้

ตรวจสอบก่อนว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยหาอนุพันย่อยเทียบy ให้มองตัวแปรxเป็นค่าคงที่

หาอนุพันย่อยเทียบx ให้มองตัวแปรyเป็นค่าคงที่

เป็นสมการแม่นตรงเพราะ

และจะมี

อินติเกรตในรูป

ให้มองตัวแปรy เป็นค่าคงที่

ให้มองตัวแปรx เป็นค่าคงที่

แทนค่าสมการ

ใช้สูตร

อินติเกรต

เป็นสมการที่1

อินติเกรต

เป็นสมการที่2

เวลาตอบ ให้ดูสมการที่1,2 ดึงที่เหมือนกันออกมา1ตัว ดึงที่ต่างกันมาทั้งหมดแล้วเท่ากับC

ตอบ

วีดีโอ