ตัวอย่างที่3 integrating factor ( ตัวประกอบเพื่ออินทิเกรต ) (2ycos x-xysin x)dx+(2xcos x)dy=0

จงหาตัวประกอบเพื่ออินทิเกรต (integrating factor) และหาคำตอบสมการแม่นตรง 

(2ycos x-xysin x)dx+(2xcos x)dy=0

วิธีทำ หาค่า M(x) และN(y) แบบเดียวกับสมการแม่นตรง

 สูตรที่ใช้

 โดยที่

 หาค่า

 และ

ทำให้

 กำหนดให้

นำค่าที่ที่กำหนดคูณกับโจทย์

จะได้

ขั้นตอนต่อมาใช้สูตร

โดยที่

หาค่าจะเป็นสมการที่1

และ หาค่า

 จะเป็นสมการที่2

ต่อมาเอาสมการที่1และ2 มาเท่ากัน

จะได้

และเอามาหารออกด้วย

จะได้

เมื่อหารออกไปแล้วจะได้

จัดรูป

 ย้ายข้าง

จัดรูปใหม่

หาค่าสัมประสิทธิ์ xsin x

 หาค่าสัมประสิทธิ์cos x

นำค่าสัมประสิทธิ์ ไปแทนใน

จะได้ตัวประกอบเพื่ออินทิเกรต

 นำค่าที่ได้ไปคูณกับโจทย์

จะได้

 ขั้นตอนต่อมาใช้วิธีการหาคำตอบแบบสมการแม่นตรง




สูตรที่ใช้

 ค่า M,Nตัวใหม่

แทนสมการ

เราจะเห็นว่า

จึงเป็นสมการแม่งตรงแล้ว

ขั้นตอนต่อมาใช้สูตร

แทนสูตร

 อินทิเกรตแต่ตัวแปรxค่าอื่นให้มองเป็นค่าคงที่
โดยใช้การอินทิเกรตทีละส่วน(Integration by Parts)

จัดรูปใหม่

กระจายy^2เข้าไปในวงเล็บ

ลบกันหายไป เป็นสมการที่3

 ต่อมา

อินทิเกรตแต่ตัวแปรyค่าอื่นให้มองเป็นค่าคงที่

จะได้สมการที่4

ดูสมการที่3 และสมการที่4  ค่าไหนเหมือนกันดึกมา1ตัว ค่าที่ต่างกันดึงมาทั้งหมดและเท่ากับc

ตอบ

วีดีโอ

วีดีโอแบบไม่ได้อธิบาย

ตัวอย่าง integrate 6 ( อินทิเกรต 6 ) ((6x^4)+4x-3/x)dx

โจทย์ จงหาอินทิเกรต ((6x^4)+4x-3/x)dx
วิธีทำ

 กระจายอินทิเกรต

 สูตรที่ใช้

 อินทิเกรต

 บวกกัน

 2ตัดกับ4

ตอบ

วีดีโอ

วีดีโอแบบไม่ได้อธิบาย

ตัวอย่างที่3.15 สมการแม่นตรง ( Exact Equation ) (3xcos3x+sin3x-3) dx+(2y+5)dy=0

จงหาคำตอบของสมการแม่นตรง (3xcos3x+sin3x-3) dx+(2y+5)dy=0

วิธีทำ

ซึ่งอยู่ในรูป

จะได้

ตรวจสอบก่อนว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยหาอนุพันย่อยเทียบy ให้มองตัวแปรxเป็นค่าคงที่

หาอนุพันย่อยเทียบx ให้มองตัวแปรyเป็นค่าคงที่

เป็นสมการแม่นตรงเพราะ

และจะมี

อินติเกรตในรูป

ให้มองตัวแปรy เป็นค่าคงที่

ให้มองตัวแปรx เป็นค่าคงที่

แทนค่าสมการ

อินทิเกรต เทียบxให้ดูแต่ตัวแปรxตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

สูตรที่ใช้

อินทิเกรตบายพาส

คูณทแยงลงครั้งติดเครื่องหมายบวก คูณครั้งที่2 ติดลบ สลับบวก ลบ จนจบ

จัดรรูป3 ตัด

อินทิเกรตทั้งชุดจะได้

ลบกับ และจะได้สมการที่1

อินทิเกรต เทียบyให้ดูแต่ตัวแปรyตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

สูตรที่ใช้

จะได้

เป็นสมการที่2

เวลาตอบ ให้ดูสมการที่1,2 ดึงที่เหมือนกันออกมา1ตัว ดึงที่ต่างกันมาทั้งหมดแล้วเท่ากับC

ตอบ

วีดีโอ

วีดีโอแบบไม่อธิบาย