ตัวอย่างที่3.6Exact Equation (สมการแม่นตรง) (1+lnx+(y/x))dx-(1-lnx)dy=0

จงหาคำตอบของสมการแม่นตรง (1+lnx+(y/x))dx-(1-lnx)dy=0

วิธีทำ

 จัดรูปให้อยู่ใน

 จัดรูป

 จะได้

 ตรวจสอบก่อนว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยหาอนุพันย่อยเทียบy ให้มองตัวแปรxเป็นค่าคงที่

 หาอนุพันย่อยเทียบx ให้มองตัวแปรyเป็นค่าคงที่

 เป็นสมการแม่นตรงเพราะ

 และจะมี

 อินติเกรตในรูป

ให้มองตัวแปรy เป็นค่าคงที่

 ให้มองตัวแปรx เป็นค่าคงที่

 แทนค่าสมการ

 ใช้สูตร

 อินติเกรต

 ย่อยอินติเกรต

 ใช้อินติเกรตผลคูณ โดยกำหนดU เพื่อดิฟ กำหนด dVเพื่ออินติเกรต

 ดิฟ U อินติเกรต dV

 ได้ผล

เอาตัวแปรที่ได้ไปแทนในสูตร

 อินติเกรตเสร็จ

 นำไปแทนสมการหลัก

 Xลบกัน เป็นสมการที่1

 อินติเกรต เป็นสมการที่2

 เวลาตอบ ให้ดูสมการที่1,2 ดึงที่เหมือนกันออกมา1ตัว ดึงที่ต่างกันมาทั้งหมดแล้วเท่ากับC

วีดีโอ

ตัวอย่าง 1.13 เรื่อง separable equations (สมการแบบแยกตัวแปรได้) (4y+yx^2)dy+(2x+xy^2)dx=0

จงหาคำตอบของสมการแบบแยกตัวแปรได้ (4y+yx²)dy-(2x+xy²)dx=0 

วิธีทำ

เปลี่ยนรูป

ย้ายข้าง 

ย้ายข้างจัดรูปให้dxอยู่กับx ให้dy อยู่กับy

อินติเกรตทั้ง2ข้าง สมการที่1

สูตรที่ใช้

ให้

ดิฟ

ย้ายข้าง

แทนค่าในสมการที่1

yตัดกัน ,xตัดกัน

2คูณทั้งสมการ

อินติเกรตเสร็จ

คืนค่าU,V  และตอบแค่นี้ก็ได้แล้วแต่ อาจารณ์ผู้สอน

ย้ายข้าง

จากโดย กฎของลอการิทึม 

เปลี่ยนรูป

จากความสัมพันธ์เอกซ์โพเนนเชียล (e)กับลอการิทึม

นำเอกซ์โพเนนเชียล (e) มายกกำลังทั้งสมการ

เป็น

ย้างข้างตอบ 

วีดีโอ

ตัวอย่าง 1.17 เรื่อง Separable Equations (สมการแบบแยกตัวแปรได้) y(e^x)dy/dx=e^(-y)+e^(-2x-y)

จงหาคำตอบของสมการแบบแยกตัวแปรได้ 
y(e^x)dy/dx=e^(-y)+e^(-2x-y)
วิธีทำ

สมบัติของเลขยกกำลัง

เปลี่ยนรูป

เปลี่ยนรูป

ดึงตัวร่วม

ย้ายข้างจัดรูปให้dxอยู่กับx ให้dy อยู่กับy

คูณเข้าวงเล็บ

จัดรูปใหม่

จัดรูปเพื่ออินติเกรต

อินติเกรตทั้ง2ข้าง

สูตรที่ใช้

และสูตรอินติเกรตผลคูณ

ให้

ดิฟ U และอินติเกรตdV

จะได้

แทนค่า

อินติเกรตเสร็จ

จัดรูปตอบ

วีดีโอ