ตัวอย่างที่3.16 สมการแม่นตรง ( Exact Equation ) (1-2(x^2)-2y)dy/dx=4(x^3)+4xy

จงหาคำตอบของสมการแม่นตรง (1-2(x^2)-2y)dy/dx=4(x^3)+4xy

วิธีทำ

จัดรูป ย้ายdx

ย้ายข้าง

นำลบคูณเข้าหรือดึงลบออก

ซึ่งอยู่ในรูป

จะได้

ตรวจสอบก่อนว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยหาอนุพันย่อยเทียบy ให้มองตัวแปรxเป็นค่าคงที่

หาอนุพันย่อยเทียบx ให้มองตัวแปรyเป็นค่าคงที่

เป็นสมการแม่นตรงเพราะ

และจะมี

อินติเกรตในรูป

ให้มองตัวแปรy เป็นค่าคงที่

ให้มองตัวแปรx เป็นค่าคงที่

 แทนค่าสมการ

อินทิเกรต เทียบxให้ดูแต่ตัวแปรxตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

สูตรที่ใช้

อินทิเกรต

จะได้สมการที่1

อินทิเกรต เทียบyให้ดูแต่ตัวแปรyตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

อินทิเกรต

เป็นสมการที่2

เวลาตอบ ให้ดูสมการที่1,2 ดึงที่เหมือนกันออกมา1ตัว ดึงที่ต่างกันมาทั้งหมดแล้วเท่ากับC

ตอบ

วีดีโอ

วีดีโอแบบไม่ได้อธิบาย

ตัวอย่างที่3.15 สมการแม่นตรง ( Exact Equation ) (3xcos3x+sin3x-3) dx+(2y+5)dy=0

จงหาคำตอบของสมการแม่นตรง (3xcos3x+sin3x-3) dx+(2y+5)dy=0

วิธีทำ

ซึ่งอยู่ในรูป

จะได้

ตรวจสอบก่อนว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยหาอนุพันย่อยเทียบy ให้มองตัวแปรxเป็นค่าคงที่

หาอนุพันย่อยเทียบx ให้มองตัวแปรyเป็นค่าคงที่

เป็นสมการแม่นตรงเพราะ

และจะมี

อินติเกรตในรูป

ให้มองตัวแปรy เป็นค่าคงที่

ให้มองตัวแปรx เป็นค่าคงที่

แทนค่าสมการ

อินทิเกรต เทียบxให้ดูแต่ตัวแปรxตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

สูตรที่ใช้

อินทิเกรตบายพาส

คูณทแยงลงครั้งติดเครื่องหมายบวก คูณครั้งที่2 ติดลบ สลับบวก ลบ จนจบ

จัดรรูป3 ตัด

อินทิเกรตทั้งชุดจะได้

ลบกับ และจะได้สมการที่1

อินทิเกรต เทียบyให้ดูแต่ตัวแปรyตัวแปรอื่นให้มองว่าเป็นค่าคงที่

สูตรที่ใช้

จะได้

เป็นสมการที่2

เวลาตอบ ให้ดูสมการที่1,2 ดึงที่เหมือนกันออกมา1ตัว ดึงที่ต่างกันมาทั้งหมดแล้วเท่ากับC

ตอบ

วีดีโอ

วีดีโอแบบไม่อธิบาย

Exact Equation (สมการแม่นตรง)

               จากทฤษฎีและมีหลายวิธีที่จะหาคำตอบได้ มีขั้นตอนดังนี้

1. จัดรูปสมการให้เป็นมาตรฐานแล้วหาMและNก่อน

ตัวอย่าง

MกับNในตัวอย่างนี้คือ

2.ตรวจสอบว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ โดยทำตามนี้ นำMมาหาอนุพันธ์เทียบyและNหาอนุพันธ์เทียบx

    ถ้าอนุพันธ์แล้วเท่ากันนั่นเป็นสมการแม่นตรง แต่ถ้าไม่เท่ากันต้องใช้วิธีอื่น

3.เมื่อตรวจสอบแล้วเป็นสมการแม่นตรง เราก็มาหาคำตอบกันมีด้วยกัน3วิธี

    3.1 นำMและNมาอินทิเกรตในรูปนี้

           เมื่อได้คำตอบทั้ง2อันแล้ว ดูคำตอบที่ได้ว่าอันไหนเหมือนกันอันไหนต่างกัน

           เวลาตอบเอาอันที่เหมือนกันดึงออกมา1 ตัวบวกกับ อันที่ต่างกันทั้งหมดและเท่าC

      ตัวอย่าง

คำตอบคือ

    3.2นำMและNมาอินทิเกรตในรูปนี้

ตัวอย่าง

ตอบ

3.3ทำได้2วิธี

   3.3.1อินทิเกรดMตามรูป

เมื่อได้คำตอบเอาคำตอบมาหาอนุพันธ์เทียบy คำตอบที่ได้ออกมาเอามาลบกับN คำตอบจะเหลืออะไรก็แล้วแต่เอามาอินทิเกรตdy จะได้คำตอบเอาคำตอบไปแทน g(y) และเท่าc

   เช่น ตัวอย่าง

     ต่อมาหาอนุพันธ์เทียบy

       ต่อมาาลบกับN

     เอามาอินทิเกรตdy

   เอาคำตอบไปแทน g(y) และเท่าc

   3.3.2อินทิเกรดMตามรูป

เมื่อได้คำตอบเอาคำตอบมาหาอนุพันธ์เทียบx คำตอบที่ได้ออกมาเอามาลบกับM คำตอบจะเหลืออะไรก็แล้วแต่เอามาอินทิเกรตdx จะได้คำตอบเอาคำตอบไปแทน h(x) และเท่าc

    ต่อมาหาอนุพันธ์เทียบx

    ต่อมาาลบกับM

    เอามาอินทิเกรตdx

    เอาคำตอบไปแทน h(x) และเท่าc

วิธีที่3ต้องเลือกให้ถูกคำตอบถึงออกมาได้ถูกต้อง

ตัวอย่าง

1

2.

3.

4.

 5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.